行列の正則と一次独立

n次正方行列$A=[\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\ldots,\overrightarrow{a_n}]$について、

$A$が正則$\Leftrightarrow \overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\ldots,\overrightarrow{a_n}$が一次独立

この定理を証明します。

「$A$が正則$\Rightarrow\overrightarrow{a_1},\ldots,\overrightarrow{a_n}$が一次独立」を示す

そもそも$A$が正則であるとき、$$AA^{-1}=E$$となる逆行列$A^{-1}$が存在します。さて、$A$の各成分の一次独立性を調べるために、実数$c_i$を使って$$c_1\overrightarrow{a_1}+c_2\overrightarrow{a_2}+\cdots+c_n\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{0}\ \cdots(1)$$と書くとこれは、$$A=[\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\ldots,\overrightarrow{a_n}]\ ,\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{array}\right)$$
を用いてまとめれば、$$A\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$$であり、両辺に左から$A^{-1}$をかければ、$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$$$$\therefore{c_1=c_2=\cdots=c_n=0}\ \cdots(2)$$$(1)\Rightarrow(2)$ゆえ、$\overrightarrow{a_1},\ldots,\overrightarrow{a_n}$は一次独立。

「$\overrightarrow{a_1},\ldots,\overrightarrow{a_n}$が一次独立$\Rightarrow{A}$が正則」を示す

$A$は、簡約化すると$$A=[\overrightarrow{a_1},\ldots,\overrightarrow{a_n}]\rightarrow{[\overrightarrow{e_1},\ldots,\overrightarrow{e_n}]}$$となります。 ($\because{\rm{rank}A=n}$より、$A$はn個の一次独立なベクトルの組である。)

さて、n本の非同次連立一次方程式たち$$A\overrightarrow{x_i}=\overrightarrow{e_i}\ (i=1,2,\ldots,n)$$は、この拡大係数行列$[A|\overrightarrow{e_i}]$を簡約化すればわかるように、ただ１つの解を持ちます。そこで、この方程式を満たす解を$\overrightarrow{x_i}=\overrightarrow{c_i}$とおき、$i=1$から$n$まで横に並べて$$C=[\overrightarrow{c_1},\ldots,\overrightarrow{c_n}]$$という行列を作ルト、これは、$A$を左から掛けると、$$AC=[A\overrightarrow{c_1},\ldots,A\overrightarrow{c_n}]=[\overrightarrow{e_1},\ldots,\overrightarrow{e_n}]=E$$となり、これは$A$の逆行列$A^{-1}=C$の存在を主張しています。