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表現行列の変化

表現行列」では、線形写像を行列(表現行列)を使って表す方法を見ました。今回は、別な基底を使って線形写像を表したときに、表現行列がどのように変化するのかを考えます。これは基底変換行列表現行列に慣れるのに良い練習だと思います。

新たな基底を導入する「表現行列はどのように変化するか?」

ここでは、線形写像 $\varphi$ の定義域 $V$ と行き先(終域) $W$ に同一の基底 $\mathcal{A}$ を使います。このとき、$\mathcal{A}$ に関する表現行列 $A$ は、任意の元 $\vec{v}\ (\in V)$ に関して、

$$A[\vec{v}]_{\mathcal{A}}=[\varphi(\vec{v})]_{\mathcal{A}}\ \cdots ①$$

という座標の関係が成り立つのでした。図で表すと、こんな感じです。

続いて、定義域と終域に、基底 $\mathcal{B}$ を入れてみます。この基底 $\mathcal{B}$ に関する $\varphi$ の表現行列を $B$ とすると、こちらも任意の元 $\vec{v}$ について、

$$B[\vec{v}]_{\mathcal{B}}=[\varphi(\vec{v})]_{\mathcal{B}}\ \cdots ②$$

という座標の関係が成り立ちます。

式①と式②から、表現行列 $A$ と $B$ の関係を調べます。このままでは連立できないため、基底 $\mathcal{A}$ から $\mathcal{B}$ への基底変換行列 $P$ を使います。この $P$ を使った基底の関係は

$$\underbrace{(\mathcal{B}の基底)}_{\mathcal{B}}=\underbrace{(\mathcal{A}の基底)}_{\mathcal{A}}\ P$$

のように書けましたが、ここでは任意の元に関する座標の関係が欲しいので、$V$ の元 $\vec{v}$ と、$W$の元 $\varphi(\vec{v})$ に関する2つの式

$$P[\vec{v}]_{\mathcal{B}}=[\vec{v}]_{\mathcal{A}}\\P[\varphi(\vec{v})]_{\mathcal{B}}=[\varphi(\vec{v})]_{\mathcal{A}}$$

を使います。これらを①式「$A[\vec{v}]_{\mathcal{A}}=[\varphi(\vec{v})]_{\mathcal{A}}$」の両辺に代入して、

$$AP[\vec{v}]_{\mathcal{B}}=P[\varphi(\vec{v})]_{\mathcal{B}}$$

基底が $\mathcal{B}$ へ変わりました。最後に、この右辺に ②式「$[\varphi(\vec{v})]_{\mathcal{B}}=B[\vec{v}]_{\mathcal{B}}$」を代入することで、

$$AP[\vec{v}]_{\mathcal{B}}=PB[\vec{v}]_{\mathcal{B}}\\\ \\\therefore{}AP=PB$$

を得ます。この $AP=PB$ という関係は、$[\vec{v}]_{\mathcal{B}}$ から $[\varphi(\vec{v})]_{\mathcal{A}}$ への対応を見る、と考えても得られます。$[\vec{v}]_{\mathcal{B}}$ の基底を $\mathcal{A}$ へ変換するために左から $P$ を掛け、それを $\varphi$ で送るためにさらに左から $A$ を掛けることを考えると、

$$[\varphi(\vec{v})]_{\mathcal{A}}=AP[\vec{v}]_{\mathcal{B}}$$

これとは別の道順でも対応は考えることができます。先に $[\vec{v}]_{\mathcal{B}}$ を $\varphi$ で送るために左から $B$ を掛け、それの基底を $\mathcal{A}$ へ変換するために左から $P$ を掛けると、

$$[\varphi(\vec{v})]_{\mathcal{A}}=PB[\vec{v}]_{\mathcal{B}}$$

となります。

新たな基底の導入による表現行列の変化

線形写像 $\varphi:V→W$ について、

  • 基底$\mathcal{A}$に関する表現行列を$A$
  • 基底$\mathcal{B}$に関する表現行列を$B$
  • 基底$\mathcal{A}$から$\mathcal{B}$への基底変換行列を$P$

とする。このとき、次式が成り立つ。
$$AP=PB$$